Question

如图所示，在直角梯形ABCD中，|AD|=3，|AB|=4，|BC|=，曲线段DE上任一点到A、B两点的距离之和都相等．
（1）建立适当的直角坐标系，求曲线段DE的方程；
（2）过C能否作一条直线与曲线段DE相交，且所得弦以C为中点，如果能，求该弦所在的直线的方程；若不能，说明理由．

Answer 1

解：（1）以直线AB为x轴，线段AB的中点为原点建立直角坐标系，
则A（﹣2，0），B（2，0），C（2，），D（﹣2，3）．
依题意，曲线段DE是以A、B为焦点的椭圆的一部分．
∵a==12，
∴所求方程为．
（2）设这样的弦存在，其方程y﹣=k（x﹣2），即y=k（x﹣2）+，
将其代入=1得
k﹣36=0
设弦的端点为M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则由=2，知x₁+x₂=4，
∴﹣=4，解得k=﹣．
∴弦MN所在直线方程为y=﹣，
验证得知，这时适合条件．
故这样的直线存在，其方程为y=﹣．