Question

已知圆（x+2）²+y²=36的圆心为M，设A为圆上任一点，N（2，0）．线段AN的垂直平分线交MA于点P
（1）求动点P的轨迹方程C．
（2）求过点（2，0）且斜率为

5

3

的直线被C所截线段的中点坐标．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）根据P是AN的垂直平分线上的一点可知PA=PN，而AM=6进而可知点P满足PA+PN=6满足椭圆的定义，故可知点p的轨迹是椭圆；
（2）直线方程代入椭圆方程，消去y，利用韦达定理，结合中点坐标公式，即可求线段的中点坐标．

解答： 解：（1）∵P是AN的垂直平分线上的一点，
∴PA=PN，
又∵AM=6，
∴点P满足PM+PN=PM+PA=6＞MN=4，
∴点P的轨迹为以M．N为焦点，长轴长为6的椭圆，
∴P点轨迹方程为

x2

9

+

y2

5

=1；
（2）过点（2，0）且斜率为

5

3

的直线方程为y=

5

3

（x-2），
设直线与椭圆相交于点E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），则
直线方程代入椭圆方程，消去y可得2x²-4x-5=0，
∴x₁+x₂=2，y₁+y₂=

5

3

（x₁+x₂）-

4 5

3

=-

2 5

3

∴所得线段的中点坐标为（1，-

5

3

）．

点评：本题考查轨迹方程，考查椭圆的定义，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．