Question

设x₁，x₂是函数f（x）=

a

3

x3+

b

2

x2-a2x（a＞0）的两个极值点，且|x₁|+|x₂|=2．
（Ⅰ）证明：0＜a≤1；
（Ⅱ）证明：|b|≤

4 3

9

．

Answer 1

证明：（Ⅰ）求导函数，可得f′（x）=ax²+bx-a²
∵x₁，x₂是f（x）的两个极值点，
∴x₁，x₂是方程f′（x）=0的两个实数根．…（3分）
∵a＞0，∴x1•x2=-a＜0，x1+x2=-

b

a

∴|x1|+|x2|=|x1-x2|=

b2 a2 +4a

∵|x₁|+|x₂|=2
∴

b2

a2

+4a=4即b²=4a²-4a³
∵b²≥0，∴0＜a≤1…（7分）
（Ⅱ）设g（a）=4a²-4a³，则g′（a）=8a-12a²=4a（2-3a）
由g′(a)＞0，0＜a＜

2

3

；g′(a)＜0，

2

3

＜a≤1得g（a）在区间(0，

2

3

)上是增函数，在区间(

2

3

，1)上是减函数，…（11分）
∴g(a)max=g(

2

3

)=

16

27

∴|b|≤

4 3

9

…（13分）