Question

19．已知a，b，c为不等正实数，且abc=1，求证：$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$+$\sqrt{c}$＜$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$．

Answer 1

分析 通过题意可知a=$\frac{1}{bc}$、b=$\frac{1}{ac}$、c=$\frac{1}{ab}$，进而$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$+$\sqrt{c}$=$\sqrt{\frac{1}{b}•\frac{1}{c}}$+$\sqrt{\frac{1}{a}•\frac{1}{c}}$+$\sqrt{\frac{1}{a}•\frac{1}{b}}$，利用基本不等式计算即得结论．

解答 证明：依题意，a=$\frac{1}{bc}$、b=$\frac{1}{ac}$、c=$\frac{1}{ab}$，
∴$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$+$\sqrt{c}$=$\sqrt{\frac{1}{bc}}$+$\sqrt{\frac{1}{ac}}$+$\sqrt{\frac{1}{ab}}$
=$\sqrt{\frac{1}{b}•\frac{1}{c}}$+$\sqrt{\frac{1}{a}•\frac{1}{c}}$+$\sqrt{\frac{1}{a}•\frac{1}{b}}$
＜$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$）+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{c}$）+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{a}$）
=$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$．

点评 本题考查不等式的证明，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．