Question

10．好学的小红在学完三角形的角平分线后，遇到下列4个问题，请你帮她解决，如图，在ABC中，∠BAC=50°，点I是两角B、C平分线的交点．
问题（1）：填空：∠BIC=115°；
问题（2）：若点D是两条外角平分线的交点：填空：∠BDC=65°；
问题（3）：若点E是内角∠ABC，外角∠ACG的平分线的交点，试探索：∠BEC与∠BAC的数量关系，并说明理由；
问题（4）：在问题（3）的条件下，当∠ACB等于多少度时，CE∥AB．

Answer 1

分析 （1）已知点I是两角B、C平分线的交点，故∠BIC=180°-（∠IBC+∠ICB）=180°-$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=180°-$\frac{1}{2}$（180°-∠A）=90+$\frac{1}{2}$∠BAC，由此可求∠BIC；
（2）因为BE、BD分别为∠ABC的内角、外角平分线，故∠DBI=90°，同理∠DCI=90°，在四边形CDBI中，可证∠BDC=180°-∠BIC=90-$\frac{1}{2}$∠BAC，由此可求∠BDC；
（3）在△BDE中，∠DBI=90°，故∠BEC=90°-∠BDC=$\frac{1}{2}$∠BAC；
（4）当CE∥AB时，∠BEC=$\frac{1}{2}$∠ABC，由（3）可知，∠ABC=∠BAC，∠ACB=$\frac{1}{2}$（180-∠BAC）．

解答 解：（1）∵点I是两角B、C平分线的交点，
∴∠BIC=180°-（∠IBC+∠ICB）
=180°-$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）
=180°-$\frac{1}{2}$（180°-∠A）
=90+$\frac{1}{2}$∠BAC=115°；
（2）∵BE、BD分别为∠ABC的内角、外角平分线，
∴∠DBI=90°，同理∠DCI=90°，
在四边形CDBI中，∠BDC=180°-∠BIC=90°-$\frac{1}{2}$∠BAC=65°；
（3）∠BEC=$\frac{1}{2}$∠BAC．
证明：在△BDE中，∠DBI=90°，
∴∠BEC=90°-∠BDC
=90°-（90°-$\frac{1}{2}$∠BAC）
=$\frac{1}{2}$∠BAC；
（4）当∠ACB等于80°时，CE∥AB．理由如下：
∵CE∥AB，
∴∠ACE=∠A=50°，
∵CE是∠ACG的平分线，
∴∠ACG=2∠ACE=100°，
∴∠ABC=∠ACG-∠BAC=100°-50°=50°，
∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=80°．
故答案为：（1）115°；（2）65°．

点评 本题考查了三角形的内角、外角平分线的夹角大小与原三角形内角的关系，要充分运用三角形内角和定理，角平分线性质转换．