Question

20．某城市前些年对环保工作不重视，到去年2006年底堆积的垃圾达到100万吨，侵占大量土地，造成环境污染．估计今后
若干年还将平均每年产生8万吨新的垃圾．市政府经调查研究，决定科学治废，估计今年能处理垃圾5万吨，并且以后处理垃圾吨量将每年增加10%
（1）2009年底比2008年底垃圾量增加多少万吨？
（2）到哪一年底垃圾堆积量最多？
（3）到哪一年开始，垃圾堆积少于50万吨？

Answer 1

分析 （1）通过分析可知从2007年开始年处理垃圾吨量构成以5万吨为首项、1.1为公比的等比数列，分别计算出2008、2009年底的垃圾总量、相减计算即得结论； 
（2）通过设到（2006+n）年底垃圾堆积量最多，利用该年处理垃圾刚超过8万吨计算即得结论；
（3）通过记s是第2006+x的垃圾总量，计算可知s=150+8x-50×1.1^x，解不等式150+8x-50×1.1^x＜50，取x的最小正整数即得结论．

解答 解：（1）依题意，从2007年开始，年处理垃圾吨量构成以5万吨为首项、1.1为公比的等比数列，
∴到2008年垃圾总的应该是100+8×2-5-5×1.1=105.5，
2009年应该是105+8-5×1.1×1.1=106.95，
∴106.95-105.5=1.95，
即2009年底比2008年底垃圾量增加1.95； 
（2）设到（2006+n）年底垃圾堆积量最多，
依题意，则该年处理垃圾刚超过8万吨，
∴5×1.1ⁿ＞8，即1.1ⁿ＞1.6，
解得：n＞4.9，
∴n=5，2006+n=2011，
即2011年垃圾堆积量最多；
（3）记s是第2006+x的垃圾总量，
则s=100+8x-$\frac{5×（1-1．{1}^{x}）}{1-1.1}$
=100+8x-50×1.1^x+50 
=150+8x-50×1.1^x，
令s＜50，即150+8x-50×1.1^x＜50，
整理得：50×（1+0.1）^x-8x＞100，
∴50×[${C}_{x}^{0}$+${C}_{x}^{1}$×0.1¹+${C}_{x}^{2}$×0.1²+…+${C}_{x}^{x}$×0.1^x]-8x＞100，
计算可知，x=16，
即从2022年开始，垃圾堆积少于50万吨．

点评 本题考查函数模型的选择与应用，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．