Question

14．已知SC是球O的直径，A，B是该球面上的两点，△ABC是边长为$\sqrt{3}$的正三角形，若三棱锥S-ABC的体积为$\sqrt{3}$，则球O的表面积为（　　）

• A． 16π
• B． 18π
• C． 20π
• D． 24π

Answer 1

分析 根据题意作出图形，欲求球O的表面积，只须求球的半径r．利用截面圆的性质即可求出OO₁，进而求出底面ABC上的高SD，即可计算出三棱锥的体积，从而建立关于r的方程，即可求出r，从而解决问题．

解答 解：根据题意作出图形．
设球心为O，球的半径r．过ABC三点的小圆的圆心为O₁，则OO₁⊥平面ABC，
延长CO₁交球于点D，则SD⊥平面ABC．
∵CO₁=$\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}×\sqrt{3}$=1，
∴OO₁=$\sqrt{{r}^{2}-1}$，
∴高SD=2OO₁=2$\sqrt{{r}^{2}-1}$，
∵△ABC是边长为$\sqrt{3}$的正三角形，
∴S_△ABC=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
∴V_{三棱锥S-ABC}=$\frac{1}{3}$×$\frac{3\sqrt{3}}{4}$×2$\sqrt{{r}^{2}-1}$=$\sqrt{3}$，
∴r=$\sqrt{5}$．则球O的表面积为20π
故选：C．

点评 本题考查棱锥的体积，考查球内接多面体，解题的关键是确定点S到面ABC的距离．