Question

如图，一张平行四边形的硬纸片ABC₀D中，AD=BD=1，AB=

2

．沿它的对角线BD把△BDC₀折起，使点C₀到达平面ABC₀D外点C的位置．
（Ⅰ）证明：平面ABC₀D⊥平面CBC₀；
（Ⅱ）如果△ABC为等腰三角形，求二面角A-BD-C的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要证面面垂直，只要证线面垂直，要证线面垂直，只要证线线垂直，由题意易得DB⊥BC，又DB⊥BC₀，则题目可证．
（Ⅱ）解法一：由DB⊥BC，AD⊥BD，故只要过B做BE∥AD，则角∠CBE为二面角A-BD-C的平面角，构造三角形求角即可．
解法二：根据题意，建立空间坐标系，利用空间向量求解．由于DA⊥BD，BC⊥BD，所以

DA

与

BC

夹角的大小等于二面角A-BD-C的大小．由夹角公式求

DA

与

BC

的夹角的余弦，从而确定角的大小．

解答：解：（Ⅰ）证明：因为AD=BC₀=BD=1，AB=C0D=

2

，所以∠DBC₀=90°，∠ADB=90°．
因为折叠过程中，∠DBC=∠DBC₀=90°，所以DB⊥BC，又DB⊥BC₀，
故DB⊥平面CBC₀．
又DB?平面ABC₀D，
所以平面ABC₀D⊥平面CBC₀．

（Ⅱ）解法一：如图，延长C₀B到E，使BE=C₀B，连接AE，CE．
因为AD平行等于BE，BE=1，DB=1，∠DBE=90°，
所以AEBD为正方形，AE=1．
由于AE，DB都与平面CBC₀垂直，
所以AE⊥CE，可知AC＞1．
因此只有AC=AB=

2

时，△ABC为等腰三角形．
在Rt△AEC中，CE=

AC2-AE2

=1，又BC=1，
所以△CEB为等边三角形，∠CBE=60°．
由（Ⅰ）可知，CB⊥BD，EB⊥BD，
所以∠CBE为二面角A-BD-C的平面角，
即二面角A-BD-C的大小为60°．

解法二：以D为坐标原点，射线DA，DB分别为x轴正半轴和y轴正半轴，
建立如图的空间直角坐标系D-xyz，
则A（1，0，0），B（0，1，0），D（0，0，0）．
由（Ⅰ）可设点C的坐标为（x，1，z），其中z＞0，则有x²+z²=1．①
因为△ABC为等腰三角形，所以AC=1或AC=

2

．
若AC=1，则有（x-1）²+1+z²=1．
由此得x=1，z=0，不合题意．
若AC=

2

，则有（x-1）²+1+z²=2．②
联立①和②得x=

1

2

，z=

3

2

．故点C的坐标为(

1

2

，1，

3

2

)．
由于DA⊥BD，BC⊥BD，所以

DA

与

BC

夹角的大小等于二面角A-BD-C的大小．
又

DA

=(1，0，0)，

BC

=(

1

2

，0，

3

2

)，cos＜

DA

，

BC

＞=

DA • BC

| DA || BC |

=

1

2

．
所以＜

DA

，

BC

＞=60°．
即二面角A-BD-C的大小为60°．

点评：本题考查空间的位置关系可空间二面角的求法，考查运算能力和空间想象能力．