Question

如图1-3-17，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形.

图1-3-17

(1)当AC、CD、DB满足怎样的关系时，△ACP∽△PDB？

(2)当△ACP∽△PDB时，求∠APB的度数.

Answer 1

思路分析:本题是一个探索型的问题，考查相似三角形的判定及性质，它给出了一个条件，让你自己再添加一个条件，可使两个三角形相似.因此，首先想到相似的判定方法，因又限制了三条边的关系，所以是对应边就成比例.当三角形相似以后，那么对应角相等，易求∠APB.

解：（1）∵△PCD是等边三角形，

∴∠PCD=∠PDC=60°，PD=PC=CD.

从而∠ACP=∠PDB=120°.

∴当时，△ACP∽△PDB.

即当CD²=AC·BD时，△ACP∽△PDB.

（2）当△ACP∽△PDB时，∠APC=∠PBD.

∴∠APB=∠APC＋∠CPD＋∠DPB

=∠PBD＋60°＋∠DPB

=60°＋60°=120°.