解:(1)当t=5时,f(x)=
,∴
,
其中x
2-x+1>0,由f′(x)>0,得x<0,由f′(x)<0,得x>0,
所以,f(x)的增区间为(-∞,0),减区间为(0,+∞);
(2)不等式f(x)≤x,即(x
3+2x
2+5x+t)e
-x≤x,即t≤xe
x-x
3-2x
2-5x.
转化为存在实数t∈[0,1],使得对任意x∈[-4,m],不等式t≤xe
x-x
3-2x
2-5x恒成立,即不等式0≤xe
x-x
3-2x
2-5x对于x∈[-4,m]恒成立,
当m≤0时,则有不等式e
x-x
2-2x-5≤0对于x∈[-4,m]恒成立,
设g(x)=e
x-x
2-2x-5,则g′(x)=e
x-2x-2,又m为整数,
则当m=-1时,则有-4≤x≤-1,此时g′(x)=e
x-2x-2>0,
则g(x)在[-4,-1]上为增函数,∴g(x)≤g(-1)<0恒成立.
m=0时,当-1<x≤0时,因为[g′(x)]′=e
x-2<0,则g′(x)在(-1,0]上为减函数,
g′(-1)=e
-1>0,g′(0)=-1<0,故存在唯一x
0∈(-1,0],使得g′(x
0)=0,即
=2x
0+2,
则当-4≤x<x
0,有g′(x)>0,;当x
0<x≤0时,有g′(x)<0;
故函数g(x)在区间[-4,x
0]上为增函数,在区间[x
0,0]上为减函数,
则函数g(x)在区间[-4,0]上的最大值为
-2x
0-5,
又
=2x
0+2,则g(x
0)=(2x
0+2)-
-2x
0-5=-
-3<0,
故不等式0≤xe
x-x
3-2x
2-5x对于x∈[-4,0]恒成立,
而当m=1时,不等式0≤xe
x-x
3-2x
2-5x对于x=1不成立.
综上得,m=0.
分析:(1)求导数f′(x),在定义域内解不等式f′(x)>0,f′(x)<0,即可得到其单调区间;
(2)不等式f(x)≤x可变为t≤xe
x-x
3-2x
2-5x,存在t∈[0,1],使得对任意x∈[-4,m],不等式f(x)≤x成立,等价于0≤xe
x-x
3-2x
2-5x对于x∈[-4,m]恒成立,先讨论①m≤0时的情况,此时不等式可化简为e
x-x
2-2x-5≤0,令g(x)=e
x-x
2-2x-5,由于m为整数,利用导数验证m=-1,m=0时恒成立情况,再讨论②m=1时情况,综上可得最大整数m值.
点评:本题考查利用导数研究函数的单调性及恒成立问题,考查分类讨论思想,考查学生分析问题解决问题的能力,解决恒成立问题常转化为函数最值问题处理.