Question

已知函数f（x）=2^x的定义域是[0，3]，设g（x）=f（2x）-f（x+2）．
（1）求g（x）的解析式及定义域；
（2）求函数g（x）的最大值和最小值．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=2^x，
∴g（x）=f（2x）-f（x+2）=2^2x-2^x+2．（3'）
因为f（x）的定义域是[0，3]，
所以，
解之得0≤x≤1．
于是 g（x）的定义域为{x|0≤x≤1}．（或写成[0，1]，否则扣1分）（6'）
（2）设g（x）=（2^x）²-4×2^x
=（2^x-2）²-4．（8'）
∵x∈[0，1]，
即2^x∈[1，2]，
∴当2^x=2即x=1时，
g（x）取得最小值-4；（10'）
当2^x=1即x=0时，
g（x）取得最大值-3．（12'）
分析：（1）由f（x）=2^x，知g（x）=f（2x）-f（x+2）=2^2x-2^x+2．因为f（x）的定义域是[0，3]，所以，由此能求出g（x）的定义域．
（2）设g（x）=（2^x）²-4×2^x=（2^x-2）²-4．由2^x∈[1，2]，能求出函数g（x）的最大值和最小值．
点评：本题考查指数函数的综合题，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．