Question

3．已知函数f（x）=log₂（ax²+4x+5）．
（1）若f（1）＜3，求a的取值范围；
（2）若a=1，求函数f（x）的值域．
（3）若f（x）的值域为R，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）计算f（1），得到关于a的不等式，解出即可；
（2）令t=x²+4x+5，则t=（x+2）²+1≥1，问题转化为log₂t≥log₂1=0，求出函数的值域即可；
（3）通过讨论a的范围，结合二次函数的性质求出a的范围即可．

解答 解：（1）因为f（1）=log₂（a+9），
所以log₂（a+9）＜3=log₂8，
所以0＜a+9＜8，
所以-9＜a＜-1．
即a的取值范围为（-9，-1）．----------（4分）
（2）当a=1时，f（x）=log₂（x²+4x+5），
令t=x²+4x+5，则t=（x+2）²+1≥1，
f（x）=log₂t在[1，+∞）上递增，
所以log₂t≥log₂1=0，
所以函数f（x）的值域为[0，+∞）----------（8分）
（3）当a=0时，y=f（x）=log₂（4x+5），
显然值域为R----------（10分），
a＜0时，△≥0即可，
16-20a≥0，解得：0＜a≤$\frac{4}{5}$，
综上，a的范围是[0，$\frac{4}{5}$]．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查二次函数的性质，是一道中档题．