Question

已知（

3	x2

+3x²）ⁿ开式各项系数的和比它的二项式系数的和大992．
（Ⅰ）求n；
（Ⅱ）求展开式中x⁶的项；
（Ⅲ）求展开式系数最大项．

Answer 1

考点：二项式定理的应用

专题：二项式定理

分析：（Ⅰ）由题意可得4ⁿ=2ⁿ+992，解得2ⁿ 的值，可得n的值．
（Ⅱ）先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于6，求得r的值，即可求得展开式中的含x⁶的项．
（Ⅲ）根据第r+1项的展开式系数为=

C

r 5

•3^r，r=0，1，2，3，4，5，可得展开式系数最大项．

解答： 解：（Ⅰ）∵（

3	x2

+3x²）ⁿ开式各项系数的和比它的二项式系数的和大992，
∴4ⁿ=2ⁿ+992，即 2²ⁿ-2ⁿ-32×31=0，解得2ⁿ=32，∴n=5．
（Ⅱ）由于展开式的通项公式为 T_r+1=

C

r 5

•3^r•x

10+4r

3

，
令

10+4r

3

=6，求得 r=2，故展开式中x⁶的项为 T₃=

C

2 5

×9×x⁶=90x⁶．
（Ⅲ）由于第r+1项的展开式系数为=

C

r 5

•3^r，r=0，1，2，3，4，5，
故当r=4时，展开式系数

C

r 5

•3^r 取得最大值，故展开式系数最大项为T₅=405x

26

3

．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．