【题目】已知函数
，
.
（1）讨论函数
的单调性；
（2）当
且
时，求证：
.
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】
（1）求得
，然后分
、
、
三种情况讨论，分析导数的符号变化，可得出函数
的单调递增区间和递减区间；
（2）将所证不等式变形为
，设
，利用导数分析出函数
在区间
上单调递增，由
可证得结论.
（1）由题意，得
.
①若，令
，得
；令
，得
.
故函数在
上单调递减，在
上单调递增；
②若，令，得；令，得.
故函数在上单调递增，在上单调递减；
③若，则
是常值函数，不存在单调性.
综上所述，当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，函数不存在单调性；
（2）当
时，
，则
即为
.
不等式两边同时除以
，得
，得.
记函数，则
.
设
.
当
时，
，所以函数
在上单调递增.
所以当时，
.
所以
，所以函数在上单调递增.
所以
，即.
故得证.
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【题目】如图所示，在棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，PA=AD=DC=2，AB=4且AB∥CD，∠BAD=90°.
（1）求证：BC⊥PC；
（2）求PB与平面PAC所成角的正弦值.
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【题目】已知函数
，
.
（1）存在
，对任意
，有不等式
成立，求实数
的取值范围；
（2）如果存在
、，使得
成立，求满足条件的最大整数
；
（3）对任意，存在，使得
成立，求实数的取值范围.
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【题目】在平面直角坐标系
中，已知曲线
的参数方程为
，以坐标原点
为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
．
（1）求曲线与曲线两交点所在直线的极坐标方程；
（2）若直线
的极坐标方程为
，直线与
轴的交点为
，与曲线相交于
两点，求
的值．
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【题目】在平面直角坐标系
中，曲线
的参数方程为
（
为参数），以坐标原点
为极点，
轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，直线
的极坐标方程为
.
（1）写出曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；
（2）若直线与曲线相交于
、
两点，求
的面积.
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【题目】在高中学习过程中，同学们经常这样说：“数学物理不分家，如果物理成绩好，那么学习数学就没什么问题。”某班针对“高中生物理学习对数学学习的影响”进行研究，得到了学生的物理成绩与数学成绩具有线性相关关系的结论。现从该班随机抽取5位学生在一次考试中的数学和物理成绩，如下表：
(1)求数学成绩y对物理成绩x的线性回归方程
。若某位学生的物理成绩为80分，预测他的数学成绩；
(2)要从抽取的这5位学生中随机抽取2位参加一项知识竞赛，求选中的学生的数学成绩至少有一位高于120分的概率。（参考公式： 
参考数据： 
）
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【题目】在直角坐标系
中，直线
的参数方程为
（
为参数），在极坐标（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点
为极点，
轴正半轴为极轴）中，圆
的方程为
（1）求圆的直角坐标方程；
（2）设圆与直线交于点
，
，若点
的坐标为
，求
.
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【题目】关于函数
有下述四个结论：
①
的周期为
；
②在
上单调递增；
③函数
在
上有
个零点；
④函数的最小值为
.
其中所有正确结论的编号为（ ）
A.①②B.②③C.③④D.②④
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