Question

已知α、β为锐角，且x（α+β-

π

2

）＞0，若不等式（

cosα

sinβ

）^x＜m-（

cosβ

sinα

）^x对一切非零实数x都成立，则实数m的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：函数的性质及应用

分析：本题先对角α、β进行研究，得到它们的正弦值和余弦值的大小关系，可知对数式的底数与1的大小关系，再将恒成立的不等式进行参变量分离，利用相应函数在区间上的单调性，求出m的取值范围，即得到本题结论．

解答： 解：∵x（α+β-

π

2

）＞0，
∴（1）当x＞0时，
α+β＞

π

2

，α＞

π

2

-β，
∵α、β为锐角，
∴sinα＞sin(

π

2

-β)，
即sinα＞cosβ＞0，0＜

cosβ

sinα

＜1．
同理0＜

cosα

sinβ

＜1．
∵（

cosα

sinβ

）^x＜m-（

cosβ

sinα

）^x
∴m＞(

cosα

sinβ

)x+(

cosβ

sinα

)x，
∵(

cosα

sinβ

)x+(

cosβ

sinα

)x为（0，+∞）上的减函数，
∴(

cosα

sinβ

)x+(

cosβ

cosα

)x＜2，
∴m≥2．
（2）当x＜0时，
α+β＜

π

2

，α＜

π

2

-β
∵α、β为锐角，
∴sinα＜sin(

π

2

-β)，
即0＜sinα＜cosβ，

cosβ

sinα

＞1．
同理

cosα

sinβ

＞1．．
∵（

cosα

sinβ

）^x＜m-（

cosβ

sinα

）^x
∴m＞(

cosα

sinβ

)x+(

cosβ

sinα

)x，
∵(

cosα

sinβ

)x+(

cosβ

sinα

)x为（-∞，0）上的增函数，
∴(

cosα

sinβ

)x+(

cosβ

cosα

)x＜2，
∴m≥2．
由（1）（2）知：m≥2．
故答案为：[2，+∞）

点评：本题考查了三角函数的单调性、对数函数的单调性，还考查了化归转化、分类讨论的数学思想，本题有一定的思维难度，运算量也较大，属于难题．