Question

设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若tanC=

sinA+sinB

cosA+cosB

且c=

3

2

，求△ABC的面积的最大值．

Answer 1

考点：正弦定理

专题：解三角形

分析：依题意，可求得C=

π

3

，利用余弦定理与基本不等式可得ab≤

3

4

，从而可求得△ABC的面积的最大值．

解答： 解：∵tanC=

sinC

cosC

=

sinA+sinB

cosA+cosB

，
∴sinCcosA+sinCcosB=sinAcosC+sinBcosC，
整理得：sin（C-A）=sin（B-C），
∵A、B、C为△ABC的内角，
∴C-A=B-C或C-A=π-（B-C）（舍），
∴C=

π

3

，又c=

3

2

，
由余弦定理得：

3

4

=c²=a²+b²-2abcosC≥2ab-2ab×

1

2

=ab，
即ab≤

3

4

（当且仅当a=b时取等号），
∴S_△ABC=

1

2

absinC≤

1

2

×

3

4

×

3

2

=

3 3

16

．

点评：本题考查两角差的正弦与正弦定理的综合应用，考查基本不等式与三角形的面积公式，考查转化思想与运算能力，属于中档题．