Question

已知f（x）是定义在{x|x＞0}上的增函数，且f(

x

y

)=f(x)-f(y)．
（Ⅰ）求f（1）的值；
（Ⅱ）若f（6）=1，解不等式f(x+3)-f(

1

x

)＜2．

Answer 1

分析：（I）取x=y＞0，代入已知条件函数的表达式，即可算出f（1）的值为0；
（II）由已知条件证出：当x＞0，y＞0时，f（xy）=f（x）+f（y），将原不等式转化为f（x（x+3））＜2，结合f（6）=1化简整理，可得f(

x(x+3)

6

)＜f(6)，最后根据函数的定义域与单调性建立关于x的不等式，解之即可得到不等式的解集．

解答：解：（Ⅰ） 令x=y＞0，则f（

x

y

）=f（1）=f（x）-f（x）=0，
∴f（1）的值为0；
（Ⅱ） 依题意可得：∵f(

1

x

)=f（1）-f（x）=-f（x）
∴f（xy）=f（

x

1 y

）=f（x）-f(

1

y

)=f（x）+f（y）
由此可得f(x+3)-f(

1

x

)=f（x+3）+f（x）=f[x（x+3）]
∴原不等式可化成：f（x（x+3））＜2f（6）
故f（x（x+3））-f（6）＜f（6），即f(

x(x+3)

6

)＜f(6)
又∵f（x）是定义在{x|x＞0}上的增函数，
∴

x(x+3) 6 ＜6 x+3＞0 1 x ＞0

，解之得：0＜x＜

-3+3 17

2

∴不等式的解集为{x|0＜x＜

-3+3 17

2

}

点评：本题给出满足特殊条件的抽象函数，求函数的值并解关于x的不等式，着重考查了抽象函数的理解和不等式的解法等知识点，属于中档题．