Question

已知关于x的一元二次函数f(x)=ax²-4bx+1.

(1)设集合P={-1，1，2，3，4，5}和Q={-2，-1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y=f(x)在区间［1,+∞)上是增函数的概率；

(2)设点(a,b)是区域内的随机点，求函数y=f(x)在区间［1,+∞)上是增函数的概率.

Answer 1

解:(1)∵函数f(x)=ax²-4bx+1的图象的对称轴为x=,

要使f(x)=ax²-4bx+1在区间［1,+∞)上为增函数，

当且仅当a＞0且≤1,即2b≤a.

若a=1,则b=-2,-1，

若a=2,则b=－2，－1，

若a=3,则b=－2，－1，1；

若a=4,则b=－2，－1，1，2；

若a=5,则b=－2，－1，1，2.

∴事件包含基本事件的个数是2+3+3+4+4=16.

∴所求事件的概率为.

(2)由(1)知当且仅当2b≤a且a＞0时，

函数f(x)=ax²-4bx+1在区间［1,+∞)上为增函数，

依条件可知试验的全部结果所构成的区域为{(a,b)|

},构成所求事件的区域为如图阴影部分.

由得交点坐标为(,),

∴所求事件的概率为P=.