Question

已知f（x）是在R上单调递减的一次函数，且f[f（x）]=4x-1．
（1）求f（x）；
（2）求函数y=f（x）+x²-x在x∈[-1，2]上的最大与最小值．

Answer 1

分析：（1）由题意可设f（x）=ax+b（a＜0），由f[f（x）]=4x-1可得

a2=4 ab+b=-1

，解出a与b，即可得到函数解析式；
（2）由（1）知，函数y=x²-3x+1，可得函数图象的开口方向与对称轴，
进而得到函数函数在[-1，

3

2

]上为减函数，在[

3

2

，2]上为增函数．故可函数y=f（x）+x²-x在x∈[-1，2]上的最值．

解答：解：（1）由题意可设f（x）=ax+b，（a＜0），
由于f[f（x）]=4x-1，则a²x+ab+b=4x-1，
故

a2=4 ab+b=-1

，解得a=-2，b=1．
故f（x）=-2x+1．
（2）由（1）知，函数y=f（x）+x²-x=-2x+1+x²-x=x²-3x+1，
故函数y=x²-3x+1图象的开口向上，对称轴为x=

3

2

，
则函数函数y=f（x）+x²-x在[-1，

3

2

]上为减函数，在[

3

2

，2]上为增函数．
又由f(

3

2

)=-

5

4

，f（-1）=6，f（2）=-1，
则函数y=f（x）+x²-x在x∈[-1，2]上的最大值为6，最小值为-

5

4

．

点评：本题考查了待定系数法来函数的解析式，以及二次函数的最值问题，属于基础题．