Question

【题目】已知函数在其定义域内有两个不同的零点．

（1）求的取值范围；

（2）记两个零点为，且，已知，若不等式恒成立，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）

（2）

【解析】

（1）根据零点与方程的关系，分离参数后构造函数，并求得，结合导函数的符号判断的单调性，从而求得最大值；由时的极限，即可确定函数与函数的图象在上有两个不同交点时的取值范围；

（2）根据零点定义，将代入可得，.再结合不等式代入化简并分离参数；由，，作差也可分离参数，将两个式子合并化简，令，再构造函数，再求得，对分类讨论，由的单调性与极值，即可确定的取值范围．

（1）依题意，函数在定义域上有两个不同的零点，即方程在）上有两个不同的解，也即在上有两个不同的解．

令，则．

当时，，所以在上单调逆增，

当时，，所以在上单调递减，

所以．

又，时，

当时，，且，

若函数与函数的图象在上有两个不同的交点，

则．

（2）因为为方程的两根，

所以，．

不等式，变形可得，

代入可得．

因为，，所以原不等式等价于．

又由，，作差得，所以．

所以原不等式等价于恒成立．

令，则，不等式等价于在上恒成立．

令，则．

①当时，，所以在上单调递，因此，满足条件；

②当时，在上单调递增，在上单调递减，又，所以在上不能恒小于零．

综上，．