Question

6．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2，x＞0}\\{-3|x+a|+a，x＜0}\end{array}\right.$的图象上恰有三对点关于原点成中心对称，则a的取值范围是（　　）

• A． （-$\frac{17}{8}$，-2）
• B． （-$\frac{17}{8}$，-2]
• C． [1，$\frac{17}{16}$）
• D． （1，$\frac{17}{16}$）

Answer 1

分析 求得x＞0的图象关于原点对称的图象的解析式．由题意可得方程2-x²=-3|x+a|+a在x＜0时有三个不等的实根．通过去绝对值，讨论a的正负，解出二次方程的根，判断正负，结合判别式大于0，解不等式即可得到所求a的范围．

解答 解：当x＞0时，f（x）=x²-2关于原点对称的图象对应的函数解析式为y=-x²+2（x＜0），
由题意可得方程2-x²=-3|x+a|+a在x＜0时有三个不等的实根．
若a≤0时，方程即为x²+3x+4a-2=0最多有2个不等实根，故不成立；
当a＞0时，若x≥-a时，方程即为x²-3x-2a-2=0，
解得x=$\frac{3±\sqrt{17+8a}}{2}$，舍去正的，可得x=$\frac{3-\sqrt{17+8a}}{2}$；
若x＜-a，方程即为x²+3x+4a-2=0，由题意可得判别式大于0，
即为9-4（4a-2）＞0，解得a＜$\frac{17}{16}$．解得x=$\frac{-3±\sqrt{17-16a}}{2}$．
由$\frac{3-\sqrt{17+8a}}{2}$≥-a，$\frac{-3-\sqrt{17-16a}}{2}$＜-a，且$\frac{-3+\sqrt{17-16a}}{2}$＜-a，
可得a≥1且0＜a＜＜$\frac{17}{16}$且1＜a＜＜$\frac{17}{16}$．
即有a的范围是（1，$\frac{17}{16}$）．
故选：D．

点评 本题考查函数的图象关于原点对称问题的解法，注意运用转化思想，绝对值的意义，讨论二次方程的根的分布情况，考查化简整理的运算能力，属于中档题．