Question

【题目】已知双曲线(a>b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,过F2的直线交双曲线的右支于P,Q两点,若|PF1|=|F1F2|,且3|PF2|=2|QF2|,则该双曲线的离心率为 ( )

A. B. C. 2 D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

连接，利用题设条件和双曲线的定义分别求得求得，再在和中，利用余弦定理求得和，又由，即可化简得到答案.

连接F1Q,设F1(-c,0),F2(c,0),则|PF1|=|F1F2|=2c.

由双曲线的定义可得|PF2|=|PF1|-2a=2c-2a,

∴由3|PF2|=2|QF2|,可得|QF2|=3c-3a,

∴由双曲线的定义可得|QF1|=|QF2|+2a=3c-a.

在△PF1F2和△QF1F2中,cos∠F1F2P===,

cos∠F1F2Q===.

由∠F1F2Q+∠F1F2P=π,可得cos∠F1F2Q+cos∠F1F2P=0,

即有+=0,化简得5c=7a,所以e==.