Question

【题目】已知M,N是焦点为F的抛物线y2=2px(p>0)上两个不同的点,线段MN的中点A的横坐标为.

(1)求|MF|+|NF|的值;

(2)若p=2,直线MN与x轴交于点B,求点B的横坐标的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）8；（2）

【解析】

(1)根据中点坐标公式可得，利用拋物线的定义,求的值；(2)分类讨论，设，利用点差法求出直线的斜率，可求点横坐标为，再利用判别式求得，从而可得点横坐标的取值范围.

(1)设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=8-p,而|MF|=x1+,|NF|=x2+,

∴|MF|+|NF|=x1+x2+p=8.

(2)当p=2时,抛物线方程为y2=4x.

①若直线MN的斜率不存在,则B(3,0).

②若直线MN的斜率存在,设A(3,t)(t≠0),

则由(1)知整理得-=4(x1-x2),∴(y1+y2)=4,即kMN=,

∴直线MN:y-t=(x-3),∴B点的横坐标为3-,

由消去x得y2-2ty+2t2-12=0,由Δ>0得0<t2<12,∴3-∈(-3,3).

综上,点B的横坐标的取值范围为(-3,3].