Question

设关于x的方程x²-mx-1=0有两个实根α、β，且α＜β．定义函数f(x)=

2x-m

x2+1

    
（Ⅰ）求αf（α）+βf（β）的值；
（Ⅱ）判断f（x）在区间（α，β）上的单调性，并加以证明．

Answer 1

（Ⅰ）∵关于x的方程x²-mx-1=0有两个实根α、β，∴

α+β=m αβ=-1

．
∴f(α)=

2α-m

α2+1

=

2α-(α+β)

α2-αβ

=

α-β

α2-αβ

=

1

α

，
同理f(β)=

1

β

，
∴αf（α）+βf（β）=2．
（Ⅱ）f（x）在（α，β）上为增函数
∵f(x)=

2x-m

x2+1

，
∴f′(x)=

2(x2-mx-1)

(x2+1)2

，
当x∈（α，β）时，x²-mx-1=（x-α）（x-β）＜0，
从而f′（x）＞0，
∴f（x）在（α，β）上为增函数．