Question

在平面直角坐标系xOy中，原点为O，抛物线C的方程为x²=4y，线段AB是抛物线C的一条动弦．
（1）求抛物线C的准线方程和焦点坐标F；
（2）求

OA

•

OB

=-4，求证：直线AB恒过定点；
（3）当|AB|=8时，设圆D：x²+（y-1）²=r²（r＞0），若存在且仅存在两条动弦AB，满足直线AB与圆D相切，求半径r的取值范围？

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用抛物线C的方程为x²=4y，可求抛物线C的准线方程和焦点坐标F；
（2）设直线AB方程为y=kx+b，代入抛物线方程，利用

OA

•

OB

=-4，求出b，即可证明直线AB恒过定点；
（3）当|AB|=8时，确定r，k的关系，利用函数的单调性，即可得出结论．

解答： （1）解：抛物线C的方程为x²=4y中2p=4，

p

2

=1，
∴准线方程：y=-1，焦点坐标：F（0，1）（4分）
（2）证明：设直线AB方程为y=kx+b，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由

y=kx+b x2=4y

得 x²-4kx-4b=0，
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4b（6分）
∴

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=x1x2+

x12x22

16

=-4，
∴x₁x₂=-8，
∴-4b=-8，
∴b=2，
∴直线 y=kx+2过定点（0，2）（9分）
（3）解：|AB|=

1+k2

16k2+16b

=8

1+k2

k2+b

=2（11分）
d=

|b-1|

1+k2

=r（12分）    
∴r=

| 4 k2+1 -k2-1|

k2+1

，
令t=

k2+1

≥1，则r=|

4

t3

-t|，当1≤t＜

2

时，r=

4

t3

-t单调递减，0＜r≤3（13分）
当t＞

2

时，r=t-

4

t3

单调递增，r＞0（14分）
k存在两解即t一解，∴r＞3．（16分）

点评：本题考查抛物线的性质，考查直线与抛物线的位置关系，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．