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    已知双曲线C：
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1（a＞0，b＞0），设P是双曲线C上任意一点，O为坐标原点，设F为双曲线右焦点．
    （1）若双曲线C满足：无论点P在右支的何处，总有|PO|＞|PF|，求双曲线C在第一、三象限的那条渐近线的倾斜角的取值范围；
    （2）过右焦点F的动直线l交双曲线于A、B两点，是否存在这样的a，b的值，使得△OAB为等边三角形．若存在，求出所有满足条件的a，b的值；若不存在，说明理由．
    考点：直线与圆锥曲线的综合问题
    专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程
    分析：（1）求出|OP|，|PF|，利用|PO|＞|PF|，可得0＜
    b
    a
    ＜
    		3
    ，即可得出结论；
    （2）确定A、B是关于x轴或y轴或原点对称的，再分类讨论，A、B都在右支上，于是由Rt△OAF的各边关系，得|AB|=2|AF|=
    2b2
    a
    且|OA|=
    c4
    a2
    -b2
    ，即可得出结论．
    解答： 解：（1）|OP|=
    c2
    a2
    x2-b2
    =
    a2+b2
    a2
    x2-b2
    （x≤-a或x≥a）；------（2分）
    |PF|=|
    c
    a
    x    -a|，
    ∵|PO|＞|PF|，
    ∴|PO|2＞|PF|2，
    ∴2x＞c（x≥a）恒成立，------（4分）
    ∴c＜（2x）min=2a，
    ∴a2+b2＜4a2，
    ∴0＜
    b
    a
    ＜
    		3
    ，------（5分）
    设所求的倾斜角为θ，则0＜tanθ＜
    		3
    ，得0＜θ＜
    π
    3
    ．------（6分）
    （2）由|OA|=|OB|及（1）得xA2=xB2，∴yA2=yB2，
    于是A、B是关于x轴或y轴或原点对称的，
    若关于原点对称，则A、O、B、F共线，这是不可能的；------（8分）
    若关于y轴对称，则AB∥x轴，这也是不可能的；------（10分）
    若关于x轴对称，则AB∥y轴，又A、F、B共线，∴A、B都在右支上，
    于是由Rt△OAF的各边关系，得|AB|=2|AF|=
    2b2
    a
    且|OA|=
    c4
    a2
    -b2
    ，
    ∴
    4b4
    a2
    =
    c4-a2b2
    a2
    ，即a4+a2b2-3b4=0，（12分）
    设b=m＞0，则a=
    		2
    		13
    -2
    2
    m，
    ∴存在这样的a=
    		2
    		13
    -2
    2
    m，b=m（其中m为正常数），使△OAB为等边三角形．------（14分）
    点评：本题考查直线与双曲线的位置关系，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，综合性强．
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    4
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    b
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    a
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    c1
    b1
    +
    c2
    b2
    +…+
    cn
    bn
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