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    （2012•淮南二模）设函数f（x）=asin2x+bcos2x，其中a，b∈R．ab≠0，若f（x）≤|f（
    π
    6
    ）|对一切x∈R恒成立，则
    ①f（
    11π
    12
    ）=0；  ②|f（
    7π
    12
    ）|＜|f（
    π
    5
    ）|；
    ③函数y=f（x）既不是奇函数也不是偶函数；
    ④函数y=f（x）的单调递增区间是：[kπ+
    π
    6
    ，kπ+
    2π
    3
    ]（k∈Z）；
    ⑤经过点（a，b）的所有直线均与函数y=f（x）的图象相交．
    以上结论正确的是
    ①③⑤
    ①③⑤
    （写出所有正确结论的编号）．
    分析：由辅助角公式，化简得f（x）=
    		a2+b2
    sin（2x+θ），结合已知不等式得f（
    π
    6
    ）是函数的最大或最小值，从而得到
    f（x）=
    		a2+b2
    sin（2x+
    π
    6
    +kπ）=±
    		a2+b2
    sin（2x+
    π
    6
    ）．再根据三角函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质，对各选项逐个加以判断，可得①③⑤通过证明可得其正确性，而②④存在反例说明它们不正确．
    解答：解：f（x）=asin2x+bcos2x=
    		a2+b2
    sin（2x+θ），其中角θ满足cosθ=
    a
    		a2+b2
    ，sinθ=
    b
    		a2+b2

    ∵f（x）≤|f（
    π
    6
    ）|对一切x∈R恒成立，
    ∴f（
    π
    6
    ）=
    		a2+b2
    或-
    		a2+b2
    ，得2×
    π
    6
    +θ=
    π
    2
    +kπ，k∈Z
    因此θ=
    π
    6
    +kπ，k∈Z．f（x）=
    		a2+b2
    sin（2x+
    π
    6
    +kπ）=
    		a2+b2
    sin（2x+
    π
    6
    ）或-
    		a2+b2
    sin（2x+
    π
    6
    ）
    对于①，因为sin（2×
    11π
    12
    +
    π
    6
    ）=sin2π=0，所以f（
    11π
    12
    ）=±
    		a2+b2
    sin（2×
    11π
    12
    +
    π
    6
    ）=0，故①正确；
    对于②，|f（
    7π
    12
    ）|=|
    		a2+b2
    sin（2×
    7π
    12
    +
    π
    6
    ）|=
    		3
    2
    		a2+b2

    ∵|f（
    π
    5
    ）|=|
    		a2+b2
    sin（2×
    π
    5
    +
    π
    6
    ）|=
    		a2+b2
    sin
    17π
    30
    ＜
    		3
    2
    		a2+b2

    ∴|f（
    7π
    12
    ）|＞|f（
    π
    5
    ）|，故②不正确；
    对于③，根据函数的表达式，得f（-x）≠±f（x），故y=f（x）既不是奇函数也不是偶函数，故③正确；
    对于④，因为函数的表达式f（x）=
    		a2+b2
    sin（2x+
    π
    6
    ）或-
    		a2+b2
    sin（2x+
    π
    6
    ），
    表达式不确定，故[kπ+
    π
    6
    ，kπ+
    2π
    3
    ]（k∈Z）不一定是增区间，故④不正确；
    对于⑤，采用反证法
    设经过点（a，b）的一条直线与函数y=f（x）的图象不相交，则此直线与x轴平行
    方程为y=b，且|b|＞
    		a2+b2
    ，平方得b2＞a2+b2矛盾，故假设不成立
    ∴经过点（a，b）的所有直线均与函数y=f（x）的图象相交．故⑤正确．
    故答案为：①③⑤
    点评：本题给出符合已知条件的三角函数表达式，叫我们判断几个选项的正确性，着重考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质、两角和与差的三角函数和反证法等知识，属于中档题．
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