Question

12．如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各棱长均相等，D为AA₁的中点，M，N分别是线段BB₁和线段CC₁上的动点（含端点），且满足BM=C₁N，当M，N运动时，下列结论中正确的序号为②③④．
①△DMN可能是直角三角形；②三棱锥A₁-DMN的体积为定值；③平面DMN⊥平面BCC₁B₁；④平面DMN与平面ABC所成的锐二面角范围为（0，$\frac{π}{4}$]．

Answer 1

分析 ①，利用反证法思想说明△DMN不可能为直角三角形；
②，由△A₁DM的面积不变，N到平面A₁DM的距离不变，得到三棱锥A₁-DMN的体积为定值；
③，由BM=C₁N，得线段MN必过正方形BCC₁B₁的中心O，由DO⊥平面BCC₁B₁，可得平面DMN⊥平面BCC₁B₁；
④，平面DMN与平面ABC平行时所成角为0，当M与B重合，N与C₁重合时，平面DMN与平面ABC所成的锐二面角最大．

解答 解：如图，
对于①，若△DMN为直角三角形，则必是以∠MDN为直角的直角三角形，但MN的最大值为BC₁，而此时DM，DN的长大于BB₁，∴△DMN不可能为直角三角形，故错误；
对于②，当M、N分别在BB₁、CC₁上运动时，△A₁DM的面积不变，N到平面A₁DM的距离不变，∴棱锥N-A₁DM的体积不变，即三棱锥A₁-DMN的体积为定值，故正确；
对于③，当M、N分别在BB₁、CC₁上运动时，若满足BM=C₁N，则线段MN必过正方形BCC₁B₁的中心O，而DO⊥平面BCC₁B₁，∴平面DMN⊥平面BCC₁B₁，故正确；
 对于④，当M、N分别为BB₁，CC₁中点时，平面DMN与平面ABC所成的角为0，当M与B重合，N与C₁重合时，平面DMN与平面ABC所成的锐二面角最大，为∠C₁BC，等于$\frac{π}{4}$．∴平面DMN与平面ABC所成的锐二面角范围为（0，$\frac{π}{4}$]，故正确，
∴正确的是②③④．
故答案为：②③④．

点评 本题考查了命题的真假判断与应用，考查了棱柱的结构特征，考查了空间想象能力和思维能力，是中档题．