Question

7．在如图所示的几何体中，四边形ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA∥BE，AB=PA=4，BE=2．
（1）求PD与平面PCE所成角的正弦值；
（2）在棱AB上是否存在一点F，使得平面DEF⊥平面PCE？如果存在，求$\frac{AF}{AB}$的值；如果不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）建立空间直角坐标系，求出$\overrightarrow{PD}$=（0，4，-4）．平面PCE的法向量为$\overrightarrow{m}$设PD与平面PCE所成的角为α，利用空间向量的数量积求解sin α．
（2）假设点F存在，连接EF，FD，ED，可设F（a，0，0），求出平面DEF的法向量，利用平面DEF⊥平面PCE，$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=0，求出a，然后求解$\frac{AF}{AB}$．

解答 解：（1）如图，建立空间直角坐标系，则B（4，0，0），
C（4，4，0），E（4，0，2），P（0，0，4），D（0，4，0），
所以$\overrightarrow{PC}$=（4，4，-4），$\overrightarrow{PE}$=（4，0，-2），$\overrightarrow{PD}$=（0，4，-4）．
设平面PCE的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PC}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PE}=0}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}x+y-z=0\\ 2x-z=0\end{array}$令x=1，则$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\\{z=2}\end{array}\right.$所以$\overrightarrow{m}$=（1，1，2）．
设PD与平面PCE所成的角为α，
则sin α=|cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{PD}$＞|=$|\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PD}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{PD}|}|$=$|\frac{-4}{\sqrt{6}×4\sqrt{2}}|$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
所以PD与平面PCE所成角的正弦值是$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
（2）假设点F存在，连接EF，FD，ED，可设F（a，0，0），则$\overrightarrow{FE}$=（4-a，0，2），$\overrightarrow{DE}$=（4，-4，2）．
设平面DEF的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x′，y′，z′），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{FE}=0}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}2x′-2y′+z′=0\\（4-a）x′+2z′=0\end{array}$，令x′=2，则$\left\{\begin{array}{l}{x′=2}\\{y′=\frac{a}{2}}\\{z′=a-4}\end{array}\right.$，所以$\overrightarrow{n}$=（2，$\frac{a}{2}$，a-4）．
因为平面DEF⊥平面PCE，所以$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=0，即2+$\frac{a}{2}$+2a-8=0，
所以a=$\frac{12}{5}$＜4，点F$（\frac{12}{5}，0，0）$．所以$\frac{AF}{AB}$=$\frac{3}{5}$．

点评 本题考查空间向量的应用，直线与平面所成角的求法，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．