Question

15．已知函数f（x）=x²+ax+4
（1）若f（x）在[1，+∞）上递增，求实数a的范围；
（2）求f（x）在[-2，1]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函数f（x）的对称轴，得到关于a的不等式，解出即可；（2）通过讨论a的范围，求出函数的最小值即可．

解答 解：（1）若f（x）在[1，+∞）上递增，
则对称轴x=-$\frac{a}{2}$≤1，∴a≥-2；
（2）f（x）的对称轴是：x=-$\frac{a}{2}$，
-$\frac{a}{2}$≤-2时，即a≥4时，f（x）在[-2，1]递增，
故f（x）_min=f（-2）=8-2a，
-$\frac{a}{2}$≥1时，即a≤-2时，f（x）在[-2，1]递减，
故f（x）_min=f（1）=5+a，
-2≤a≤4时，f（x）在[-2，-$\frac{a}{2}$）递减，在（-$\frac{a}{2}$，1]递增，
f（x）_min=f（-$\frac{a}{2}$）=4-$\frac{{a}^{2}}{4}$，
综上：f（x）min=$\left\{\begin{array}{l}{8-2a，a＞4}\\{4-\frac{{a}^{2}}{4}，-2≤a≤4}\\{5+a，a＜-2}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了二次函数的性质，考查函数的单调性以及分类讨论思想，是一道中档题．