Question

如图，已知椭圆=1(2≤m≤5),过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及其准线的交点从左到右的顺序为A、B、C、D，设f(m)=||AB|－|CD||

(1)求f(m)的解析式；

(2)求f(m)的最值.

Answer 1

(1) f(m)=， m∈［2,5］ (2) f(m)的最大值为，此时m=2;f(m)的最小值为，此时m=5

解析:

  (1)设椭圆的半长轴、半短轴及半焦距依次为a、b、c，则a²=m,b²=m－1,c²=a²－b²=1

∴椭圆的焦点为F₁(－1,0),F₂(1,0).

故直线的方程为y=x+1,又椭圆的准线方程为x=±,即x=±m.

∴A(－m,－m+1),D(m,m+1)

考虑方程组,消去y得:(m－1)x²+m(x+1)²=m(m－1)

整理得:(2m－1)x²+2mx+2m－m²=0

Δ=4m²－4(2m－1)(2m－m²)=8m(m－1)²

∵2≤m≤5,∴Δ＞0恒成立，x_B+x_C=.

又∵A、B、C、D都在直线y=x+1上

∴|AB|=|x_B－x_A|==(x_B－x_A)·,|CD|=(x_D－x_C)

∴||AB|－|CD||=|x_B－x_A+x_D－x_C|=|(x_B+x_C)－(x_A+x_D)|

又∵x_A=－m,x_D=m,∴x_A+x_D=0

∴||AB|－|CD||=|x_B+x_C|·=||·= (2≤m≤5)

故f(m)=，m∈［2,5］.

(2)由f(m)=，可知f(m)= 

又2－≤2－≤2－，∴f(m)∈［］

故f(m)的最大值为，此时m=2;f(m)的最小值为，此时m=5.