Question

作出函数y=x³与y=3x-1的图象，并写出方程x³=3x-1的近似解（精确到0.1）.

Answer 1

解：作函数f(x)=x³-3x+1，结合y=x³与y=3x-1的图象，可计算f(-2)＜0,f(0)＞0,f(2)＞0，于是可判断f(x)=0的三个解x₁,x₂,x₃满足x₁∈(-2,0),x₂∈(0,1),x₃∈(1,2).

下面用二分法分别求其近似解，先求x₁，列表如下：

取区间	中点值	中点函数值及其符号
（-2，0）	-1	3（+）
（-2，-1）	-1.5	2.125（+）
（-2，-1.5）	-1.75	0.890 625（+）
（-2，-1.75）	-1.875	-0.033 203 125（-）
（-1.875，-1.75）	-1.812 5	0.483 154 296（+）
（-1.875，-1.812 5）	-1.843 75	0.263 580 322（+）
（-1.875，-1.843 75）	-1.859 375	0.149 753 57（+）
（-1.875，-1.859 375）

x₁≈-1.9.

应该说明，f(-1.9)=(-1.9)³-3×(-1.9)+1=-6.859+5.7+1=-0.159，而f(-1.8)=(-1.8)³-3×(-1.8)+1=-5.832+5.4+1=0.568，这也表明，x₁=-1.9比x₁=-1.8更准确，因此取x₁=-1.9是正确的.

下面求x₂：

取区间	中点值	中点函数值及其符号
（0，1）	0.5	-0.375（-）
（0，0.5）	0.25	0.265 625（+）
（0.25，0.5）	0.375	-0.072 265 625（-）
（0.25，0.375）	0.312 5	0.093 017 578（+）
（0.312 5，0.375）	0.343 75	0.009 368 896（+）
（0.343 75，0.375）	0.359 375	-0.031 711 578（-）
（0.343 75，0.359 375）	0.351 562 5	-0.011 235 713（-）
（0.343 75，0.351 562 5）	0.347 656 25	-0.000 949 323（-）
（0.343 75，0.347 656 25）

∴x₂≈0.3.

注：f(0.3)=0.127,f(0.4)=0.136，取x₂≈0.3比取x₂≈0.4更加准确.

最后求x₃：

取区间	中点值	中点函数值及其符号
（1，2）	1.5	-0.125（-）
（1.5，2）	1.75	1.109 375（+）
（1.5，1.75）	1.625	0.416 015 625（+）
（1.5，1.625）	1.562 5	0.127 197 265（+）
（1.5，1.562 5）	1.531 25	-0.003 387 451（-）
（1.531 25，1.562 5）	1.546 875	0.060 771 942（+）
（1.531 25，1.546 875）

∴x₃≈1.5.

综上所述，方程x₃=3x-1的近似解为x₁≈-1.9，x₂≈0.3，x₃≈1.5.