Question

已知函数f（x）=2cosx•sin（x+

π

3

）-

3

sin²x+sinx•cosx
（I）求函数f（x）的单调递减区间；
（II）将函数f（x）的图象向右平移m（m＞0）个单位后得到g（x）的图象，求使函数g（x）为偶函数的m的最小值．

Answer 1

分析：先利用两角和的正弦公式，二倍角公式将已知函数化为复合函数y=Asin（ωx+φ）的形式，（I）将内层函数ωx+φ看做整体，放到正弦函数的单调区间上，解不等式即可得此函数的单调区间；（II）先求出将函数f（x）的图象向右平移m（m＞0）个单位后得到g（x）的图象的解析式，要使函数g（x）为偶函数，即一条对称轴为x=0，只需代入内层函数中，使内层函数的值为正弦曲线的对称轴x=kπ+

π

2

即可，从而得m的表达式，求最小值即可

解答：解：f（x）=2cosx•sin（x+

π

3

）-

3

sin²x+sinx•cosx
=2cosx（sinxcos

π

3

+cosxsin

π

3

）-

3

sin²x+sinx•cosx
=2cosx（

1

2

sinx+

3

2

cosx））-

3

sin²x+sinx•cosx
=2cosxsinx+

3

（cos²x-sin²x）
=sin2x+

3

cos2x
=2sin（2x+

π

3

）
（I）令

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

3π

2

+2kπ
得

π

12

+kπ≤x≤

7π

12

+kπ  （k∈Z）
∴函数f（x）的单调递减区间是[

π

12

+kπ，

7π

12

+kπ]，（k∈Z）
（II）将函数f（x）的图象向右平移m（m＞0）个单位后得到函数的解析式为g（x）=2sin[2（x-m）+

π

3

]=2sin（2x-2m+

π

3

）
要使函数g（x）为偶函数，即x=0为其对称轴
只需2×0-2m+

π

3

=kπ+

π

2

  （k∈Z）
即m=-

k

2

π-

π

12

（k∈Z），
∵m＞0
∴m的最小正值为

5π

12

，此时k=-1
∴m的最小正值为

5π

12

点评：本题考察了利用三角变换公式将三角函数式化为y=Asin（ωx+φ）的形式的技巧，三角函数的图象和性质，y=Asin（ωx+φ）型函数的单调区间和对称轴的求法和应用