Question

已知f（x）=3^x，并且f（a）=9，g（x）=a^x-4^x．
（1）求函数g（x）的解析式；
（2）求函数g（x）在[-1，1]上的值域．

Answer 1

分析：（1）根据f（a）=9，列出关于a的方程，求出a，即可求得函数g（x）的解析式；
（2）利用换元法将函数g（x）转化成二次函数，利用二次函数求出函数g（x）在[-1，1]上的值域．

解答：解：（1）∵f（x）=3^x，且f（a）=9，
∴3^a=9，
∴a=2，
∴g（x）=2^x-4^x．
（2）令t=2^x，
∵x∈[-1，1]，则t∈[

1

2

，2]，
∴g（x）=2^x-4^x=t-t²=-(t-

1

2

)2+

1

4

，t∈[

1

2

，2]，
∴函数g（x）在[-1，1]上的值域是[-2，

1

4

]．

点评：本题考查了函数的求值，函数的解析式以及函数求值域问题，主要考查了利用换元法转化成二次函数求最值．属于基础题．