Question

已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB₁⊥BC₁，求证：A₁C⊥BC₁．

Answer 1

考点：棱锥的结构特征

专题：空间位置关系与距离

分析：连结A₁C，AC₁交点为E，则点E是A₁C的中点．取B₁C₁的中点D，连结A₁D、DN，则DE∥AB₁．求证线线垂直，往往寻求线面垂直，只要证得BC₁⊥平面A₁DE即可．

解答： 证明：如图所示，连结A₁C，AC₁交点为E，则点E是A₁C的中点．．

取B₁C₁的中点D，连结A₁D、DE，则DE∥AB₁．
又AB₁⊥BC₁，
∴DE⊥BC₁，
又△A₁B₁C₁是正三角形，
∴A₁D⊥B₁C₁．
又平面A₁B₁C₁⊥平面BB₁C₁C，平面A₁B₁C₁∩平面BB₁C₁C=B₁C₁，A₁D?平面A₁B₁C₁，
∴A₁D⊥平面BB₁C₁C．
又BC₁?平面BB₁C₁C，
∴BC₁⊥A₁D．
又A₁D?平面A₁DE，DE?平面A₁DE，A₁D∩DE=D，
∴BC₁⊥平面A₁DE．
又A₁C?平面A₁DE，
∴A₁C⊥BC₁．

点评：本题主要考查了线面垂直的性质和判定，同时考查了空间想象能力、运算求解的能力、以及转化与划归的思想，属于中档题．