Question

已知数列{a_n}的前n项之和是S_n，且4S_n=（a_n+1）²，则下列说法正确的是（　　）

• A、数列{a_n}为等差数列
• B、数列{a_n}为等比数列
• C、数列{a_n}为等差或等比数列
• D、数列{a_n}可能既不是等差数列也不是等比数列

Answer 1

考点：等差数列与等比数列的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：在原递推式中用n+1替换得另一递推式，作差后整理得到（a_n+1-a_n）（a_n+1+a_n+2）=0，得到a_n+1-a_n=0或a_n+1+a_n+2=0，当a_n+1+a_n+2=0时，数列{a_n}可能既不是等差数列也不是等比数列．

解答： 解：由4S_n=（a_n+1）² ①，
取n=1，得4a1=4S1=(a1+1)2，解得a₁=1；
以n+1替换n，得4Sn+1=(an+1+1)2  ②，
②-①得4a_n+1=（a_n+1+a_n+2）（a_n+1-a_n），整理得：（a_n+1-a_n）（a_n+1+a_n+2）=0．
∴a_n+1-a_n=0或a_n+1+a_n+2=0，
当a_n+1+a_n+2=0时，数列{a_n}可能既不是等差数列也不是等比数列．
故选：D．

点评：本题考查了数列递推式，在利用给出的数列递推式求数列的通项公式时，常在原递推式中n-1得另一递推式，然后作差求解，是中档题．