Question

已知B是x²+y²=1（y∈[0，1]）上一动点，A（2，0）△ABC是以A为直角顶点的等腰三角形，且A，B，C按顺时针方向排列，则动点C的轨迹方程是

 

．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：计算题,直线与圆

分析：由题意，设C（x，y），令B（x₀，y₀），由等腰直角三角形的特征，两直角边垂直且相等建立B，C两点的坐标之间的关系，用点C的坐标，表示出点B的坐标，代入x²+y²=1，整理即可得到点C的轨迹方程．

解答： 解：设C（x，y），令B（x₀，y₀），
∵点A的坐标为（2，0），△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，
∴k_AB×k_AC=-1，且AB=AC
∴

y

x-2

×

y0

x0-2

=-1①；
（x-2）²+y²=（x₀-2）²+y₀²   ②
由①得x₀-2=

yy0

x-2

代入②得（x-2）²+y²=（

yy0

x-2

）²+y₀²，
整理得y₀²=（x-2）²，又y₀＞0，x≥2
可得y₀=x-2代入①得

y

x0-2

=-1，解得x₀=2-y，
又点B（x₀，y₀）是半圆x²+y²=1（y＞0）上的一个动点，
所以有（x-2）²+（y-2）²=1（x≥2）．
故点C的轨迹方程是（x-2）²+（y-2）²=1（x≥2）．
故答案为：（x-2）²+（y-2）²=1（x≥2）．

点评：本题考查求轨迹方程，解题的关键是理解题意，运用代入法，本题由垂直与线段相等两个关系建立方程，由于都是符号运算，运算量较大，变形时要严谨，不要因为运算出错，导致解题失败，由解题过程可以看出，此类题求解规律固定，入手一般是从找等量关系开始，切记！