Question

已知椭圆

x2

a2

+y2=1与双曲线

x2

b2

-3y2=1具有相同的焦点F₁，F₂，点P是两曲线的公共点，则∠F₁PF₂=

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质,椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由椭圆和双曲线的焦点相同得到a2-1=b2+

1

3

，再由定义列方程求得P到两焦点的距离，然后利用余弦定理求解．

解答： 解：如图，

由题意可得，a2-1=b2+

1

3

，
|PF₁|+|PF₂|=2a，|PF₁|-|PF₂|=2b，
则|PF₁|=a+b，
|PF₂|=a-b，
cos∠F₁PF₂=

|PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2

2|PF1||PF2|

=

(a+b)2+(a-b)2-4a2+4

2a2-2b2

=

1

2

．
∴∠F₁PF₂=

π

3

．
故答案为：

π

3

．

点评：本题考查了椭圆与双曲线的简单几何性质，涉及圆锥曲线上的点与两焦点连线构成的三角形问题，常用圆锥曲线的定义及余弦定理求解，是中档题．