Question

已知函数f（x）=x²+2x|x-a|，其中a∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若不等式4≤f（x）≤16在x∈[1，2]上恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数单调性的判断与证明,不等式的证明

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）f（x）=x²+2x|x-a|=

-(x-a)2+a2，x≤a 3(x- a 3 )2- a2 3 ，x＞a

，分a≥0与a＜0讨论，利用二次函数的单调性质即可求得函数f（x）的单调区间；

（Ⅱ）由题意知，只需f_min（x）≥4，f_max（x）≤16，利用f（x）在x∈[1，2]上恒递增，可求得a的范围a≤-

1

2

或a≥

5

2

；再对a分a≥

5

2

与a≤-

1

2

两类讨论，即可求得a的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）因为f（x）=x²+2x|x-a|=

-(x-a)2+a2，x≤a 3(x- a 3 )2- a2 3 ，x＞a

，
当a≥0时，f（x）在（-∞，a）和（a，+∞）上均递增；
当a＜0时（如图），f（x）在（-∞，a）和(

a

3

，+∞)上递增，在在(a，

a

3

)上递减 …（6分）

（Ⅱ）由题意知，只需f_min（x）≥4，f_max（x）≤16，
首先，由（Ⅰ）可知，f（x）在x∈[1，2]上恒递增，
则f_min（x）=f（1）=1+2|1-a|≥4，解得a≤-

1

2

或a≥

5

2

；
其次，当a≥

5

2

时，f（x）在R上递增，故f_max（x）=f（2）=4a-4≤16，解得

5

2

≤a≤5；
当a≤-

1

2

时，f（x）在[1，2]上递增，故f_max（x）=f（2）=12-4a≤16，解得-1≤a≤-

1

2

．
综上：-1≤a≤-

1

2

或

5

2

≤a≤5…（15分）

点评：本题考查函数单调性的判断与证明，着重考查分类讨论思想与数形结合思想、等价转化思想的综合应用，是难题．