Question

在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，cosC=

3

10

．
（1）若

CB

•

CA

=

9

2

，求c的最小值；
（2）设向量

x

=（2sinB，-

3

），

y

=（cos2B，1-2sin²

B

2

），且

x

∥

y

，求∠B的值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,等差数列与一次函数的关系,平面向量数量积的运算

专题：三角函数的求值,平面向量及应用

分析：（1）由已知先解得ab=15，即可由余弦定理求得c的最小值；
（2）由已知整理可得：2sin（2B+

π

3

）=0，从而可求∠B的值．

解答： 解：（1）因为cosC=

3

10

，

CB

•

CA

=

9

2

，
所以abcosC=

9

2

，
所以ab=15．
由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC=a²+b²-2ab×

3

10

≥2ab-

3

5

ab=

7

5

×15=21．
故可解得：c≥

21

故c的最小值是

21

．
（2）∵

x

∥

y

，
∴-

3

cos2B-2sinB（1-2sin²

B

2

）=0
∴整理可得：2sin（2B+

π

3

）=0
∴2B+

π

3

=kπ，k∈Z，解得：B=

kπ

2

-

π

6

，k∈Z
∵0＜B＜π
∴B=

π

3

或

5π

6

．

点评：本题主要考察了平面向量数量积的运算，两角和与差的正弦函数公式的应用，属于基本知识的考查．