Question

已知定义在R上的函数f（x）满足：
①函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称；
②对?x∈R，f（

3

4

-x）=f（

3

4

+x）成立；
③当x∈（-

3

2

，-

3

4

]时，f（x）=log₂（-3x+1）．
则f（2014）=

 

．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：直接利用已知条件求出函数的周期，函数的奇偶性，利用函数的解析式求解所求的表达式的值．

解答： 解：定义在R上的函数f（x）满足：函数y=f（x-1）的图象关于点（1，0）对称；说明函数f（x）是奇函数．
即f（x）=-f（-x）．
对?x∈R，f（

3

4

-x）=f（

3

4

+x）成立；所以对?x∈R，f（

3

4

-x）=f（

3

4

+x）=-f（x-

3

4

）成立；可得f（3+x）=f（x），函数的周期为3，
∵当x∈（-

3

2

，-

3

4

]时，f（x）=log₂（-3x+1）．
∵函数是奇函数，
∴x∈（

3

4

，

3

2

），f（x）=-log₂（3x+1）．
∴f（2014）=f（671×3+1）=f（1）=-log₂（3×1+1）=-2
故答案为：-2．

点评：本题考查抽象函数的应用幂函数的奇偶数的判断，函数的周期的考查与应用，考查转化思想以及计算能力．