Question

若第一象限内有一动点Q（x，y）在过点A（2，3）且斜率为-2的直线m上运动，则log₂x+log₂y最大值为

 

．

Answer 1

考点：对数的运算性质,基本不等式

专题：函数的性质及应用

分析：直线m的方程为：y-3=-2（x-2），化为2x+y-7=0，（x，y＞0）．利用对数的运算法则、基本不等式的性质可得log₂x+log₂y=log₂（xy）=log2(

1

2

•2xy)≤log2[

1

2

•(

2x+y

2

)2]即可得出．

解答： 解：直线m的方程为：y-3=-2（x-2），化为2x+y-7=0，（x，y＞0）．
∴log₂x+log₂y=log₂（xy）=log2(

1

2

•2xy)≤log2[

1

2

•(

2x+y

2

)2]=log2(

1

2

×(

7

2

)2)=-1+2log2

7

2

=2log₂7-3．当且仅当y=2x=

7

2

时取等号．
∴log₂x+log₂y最大值为2log₂7-3．
故答案为：2log₂7-3．

点评：本题考查了对数的运算法则、基本不等式的性质，属于基础题．