Question

点P是椭圆

x2

4

+y2=1上一点，且在第一象限内移动；O为原点，A（2，0），B（0，1），则四边形OAPB的面积的最大值是

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：利用三角函数来解答这道题，椭圆方程

x2

4

+y2=1上 里面的自变量x，y可以表示为 x=2cosa y=sina 本题中要求第一象限，这样就应该有0＜a＜π，
设P为（2cosa，sina）这样四边形OAPB的面积就可以表示为两个三角形OAP和OPB面积之和，
对于三角形OAP有面积S₁=sina 对于三角形OBP有面积S₂=cosa 这样四边形的面积S=S₁+S₂=sina+cosa也就相当于求解sina+cosa的最大值，
0＜a＜π，sina+cosa=

2

sin（a+

π

4

）这样其最大值就应该为

2

，并且当且仅当a=

π

4

时成立．

解答： 解：由于点P是椭圆程

x2

4

+y2=1上上的在第一象限内的点，
设P为（2cosa，sina）即x=2cosa y=sina （0＜a＜π），
这样四边形OAPB的面积就可以表示为两个三角形OAP和OPB面积之和，
对于三角形OAP有面积S₁=sina 对于三角形OBP有面积S₂=cosa
∴四边形的面积S=S₁+S₂=sina+cosa
=

2

sin（a+

π

4

）
其最大值就应该为

2

，
并且当且仅当a=

π

4

时成立．所以，面积最大值

2

．
故答案为：

2

．

点评：本题主要考查了椭圆的简单性质，解答的关键在于利用椭圆的参数方程设出椭圆上一点的坐标，利用三角函数的有界性求最值．