Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c在x=-2处取得极值，并且它的图象与直线y=-3x+3在点（1，0）处相切．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）若关于x的方程f（x）=m有三个不同的是根，求m的值．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,函数的零点与方程根的关系,利用导数研究函数的极值

专题：函数的性质及应用

分析：（1）求出函数的导数，利用已知条件得到方程组即可求出a、b、c，然后求f（x）的解析式；
（2）求出函数的导数，通过导函数的符号，判断f（x）的单调性，求出单调区间；
（3）若关于x的方程f（x）=m有三个不同的是根，求出函数的极值，然后求m的值．

解答： 解：（1）f′（x）=3x²+2ax+b，
∵函数f（x）在x=-2时取得极值，
∴f′（-2）=0，即12-4a+b=0①，
∵函数图象与直线y=-3x+3切于点P（1，0）．
∴f′（1）=-3，即 3+2a+b=-3②，
由f（1）=0，即 1+a+b+c=0③，
由①②③解得a=1，b=-8，c=6；
（2）由（1）知，f（x）=x³+x²-8x+6，f′（x）=3x²+2x-8=（3x-4）（x+2），
由f′（x）＞0得，x＜-2或x＞

4

3

，由f′（x）＜0得，-2＜x＜

4

3

，
所以f（x）在（-∞，-2）和（

4

3

，+∞）上递增，在（-2，

4

3

）上递减，
（3）由（2）知，当x=-2时f（x）取得极大值f（-2）=18，
当x=

4

3

时f（x）取得极小值f（

4

3

）=-

62

27

，
因为关于x的方程f（x）=m有三个不同实根，所以函数y=f（x）和y=m图象有三个交点，
所以-

62

27

＜m＜18，即为m的取值范围．

点评：本题考查函数的导数的应用，切线方程以及函数的极值，考查分析问题解决问题的能力．