Question

如图，在矩形OABC中，O为原点，B点坐标为（8，6）．
（1）求∠BOA的余弦值；
（2）若点P、Q分别为线段OA、OB上的动点，且BQ=OP，连接PQ，设OP=x．
①连接CQ，求当△OPQ与△CQB相似时x的值．
②当△OPQ为等腰三角形时，请直接写出x的值．

Answer 1

考点：相似三角形的性质

专题：立体几何

分析：（1）由矩形OABC中，O为原点，B点坐标为（8，6），可得OB长，进而根据三角函数的定义，求∠BOA的余弦值；
（2）当△OPQ与△CQB相似时，

BQ

OP

=

BC

OQ

，即

x

x

=

8

10-x

，解方程得x的值．
②当△OPQ为等腰三角形时，不妨令OP=OQ，即x=10-x，解得x的值．

解答： 解：（1）∵矩形OABC中，O为原点，B点坐标为（8，6）．
∴OB=

82+62

=10，
故cos∠BOA=

OA

OB

=

8

10

=

4

5

，
（2）①∵BQ=OP，OP=x，
∴OQ=10-x，
若△OPQ∽△BQC，则

BQ

OP

=

BC

OQ

，
即

x

x

=

8

10-x

，
解得：x=2，
②当OP=OQ，即x=10-x，△OPQ为等腰三角形，则x=5．

点评：本题考查的知识点是相似三角形的性质，三角函数的定义，等腰三角形的定义，难度不大，属于基础题．