Question

已知装曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的渐近线过点(1，

3

)，F₁，F₂为双曲线的左右焦点，P为双曲线上的任意一点，且∠F₁PF₂=

π

3

，S△PF1F2=12

3

．
（1）求双曲线的两条渐近线的夹角；
（2）求双曲线的标准方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：计算题,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由题意求出渐近线的倾斜角，进而求双曲线的两条渐近线的夹角；
（2）由（1）知，b=

3

a，c=2a；借助于余弦定理及三角形面积公式求出a，进而求双曲线的标准方程．

解答： 解：（1）∵装曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的渐近线过点(1，

3

)，
∴这条渐近线的倾斜角的正切值为

3

1

=

3

，
故倾斜角为

π

3

，
则双曲线的两条渐近线的夹角为π-2×

π

3

=

π

3

；
（2）由（1）知，b=

3

a，c=2a；
∵∠F₁PF₂=

π

3

，
∴|F₁F₂|²=|F₁P|²+|PF₂|²-2|F₁P||PF₂|cos

π

3

，
即16a²=|F₁P|²+|PF₂|²-|F₁P||PF₂|；
又∵S△PF1F2=12

3

=

1

2

|F₁P||PF₂|sin

π

3

．
∴|F₁P||PF₂|=48，
16a²=（|F₁P|-|PF₂|）²+|F₁P||PF₂|，
即16a²=4a²+48，
则a²=4，
故双曲线的标准方程为

x2

4

-

y2

12

=1．

点评：本题考查了双曲线的图象及双曲线与正余弦定理及三角形面积公式的联合应用，属于难题．