Question

已知f(x)=

1

2

x2-(2a+1)x+(a2+a)lnx（x＞0，a是常数），若对曲线y=f（x）上任意一点P（x₀，y₀）处的切线y=g（x），f（x）≥g（x）恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

依题意，f/(x)=x-(2a+1)+

a2+a

x

…（1分）y₀=f（x₀），曲线y=f（x）在点P（x₀，y₀）处的切线为y-y0=f/(x0)(x-x0)…（2分），
即y=y0+f/(x0)(x-x0)，所以g(x)=y0+f/(x0)(x-x0)…（3分）
直接计算得g(x)=x0x-

1

2

x02-(2a+1)x+(a2+a)(lnx0+

x

x0

-1)…（5分），
直接计算得f（x）≥g（x）等价于

1

2

(x-x0)2+(a2+a)(ln

x

x

0-

x

x0

+1)≥0…（7分）
记h(x)=

1

2

(x-x0)2+(a2+a)(ln

x

x0

-

x

x0

+1)，则h/(x)=(x-x0)+(a2+a)(

1

x

-

1

x0

)=(x-x0)(1-

a2+a

xx0

)…（8分）
若a²+a≤0，则由h′（x）=0，得x=x₀…（9分），
且当0＜x＜x₀时，h′（x）＜0，当x＞x₀时，h′（x）＞0…（10分），
所以h（x）在x=x₀处取得极小值，从而也是最小值，即h（x）≥h（x₀）=0，从而f（x）≥g（x）恒成立…（11分）．
若a²+a＞0，取x0=

a2+a

，则h/(x)=(x-x0)(1-

a2+a

xx0

)≥0，
且当x₁≠x₀时h′（x）＞0，h（x）单调递增…（12分），
所以当0＜x＜x₀时，h（x）＜h（x₀）=0，与f（x）≥g（x）恒成立矛盾，所以a²+a≤0…（13分），
从而a的取值范围为-1≤a≤0…（14分）