Question

设椭圆的左、右焦点分别为F₁，F₂，上顶点为A，过点A与AF₂垂直的直线交z轴负半轴于点Q，且，过A，Q，F₂三点的圆的半径为2．过定点M（0，2）的直线l与椭圆C交于G，H两点（点G在点M，H之间）．
（I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l的斜率k＞0，在x轴上是否存在点P（m，0），使得以PG，PH为邻边的平行四边形是菱形．如果存在，求出m的取值范围，如果不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（I）因为，所以F₁为F₂Q中点．
设Q的坐标为（-3c，0），
因为AQ⊥AF₂，所以b²=3c×c=3c²，a²=4c×c=4c²，
且过A，Q，F₂三点的圆的圆心为F₁（-c，0），半径为2c
因为该圆与直线l相切，所以，解得c=1，
所以a=2，b=，所以所求椭圆方程为；
（Ⅱ）设l的方程为y=kx+2（k＞0），与椭圆方程联立，消去y可得（3+4k²）x²+16kx+4=0．
设G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），则x₁+x2=-
∴=（x₁-m，y₁）+（x₂-m，y₂）=（x₁+x₂-2m，y₁+y₂）．
=（x₁+x₂-2m，k（x₁+x₂）+4）
又=（x₂-x₁，y₂-y₁）=（x₂-x₁，k（x₂-x₁））．
由于菱形对角线互相垂直，则（）•=0，
所以（x₂-x₁）[（x₁+x₂）-2m]+k（x₂-x₁）[k（x₁+x₂）+4]=0．
故（x₂-x₁）[（x₁+x₂）-2m+k²（x₁+x₂）+4k]=0．
因为k＞0，所以x₂-x₁≠0．
所以（x₁+x₂）-2m+k²（x₁+x₂）+4k=0，即（1+k²）（x₁+x₂）+4k-2m=0．
所以（1+k²）（-）+4k-2m=0．
解得m=-，即
因为k＞，可以使，所以
故存在满足题意的点P且m的取值范围是[）．
分析：（I）因为，知a，c的一个方程，再利用△AQF的外接圆与直线l相切得出另一个方程，解这两个方程组成的方程组即可求得所求椭圆方程；
（II）设l的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根与系数的关系利用向量的坐标表示，利用基本不等式，即可求得m的取值范围．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查基本不等式的运用，解题时应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，属于中档题．