Question

1．在单调递增数列{a_n}中，a₁=2，不等式（n+1）a_n≥na_2n对任意n∈N*都成立．
（1）求a₂的取值范围．
（2）判断数列{a_n}能否为等比数列，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用数列的单调性即可得出．
（2）数列{a_n}不能为等比数列．用反证法证明：假设数列{a_n}是公比为q的等比数列，a₁=2＞0，a_n=2q^n-1．根据{a_n}单调递增，可得q＞1．根据n∈N^*，（n+1）a_n≥na_2n都成立．可得n∈N^*，1+$\frac{1}{n}$≥qⁿ．?n₀∈N^*，使得当n≥n₀时，qⁿ＞2．可得矛盾．

解答 解：（1）∵{a_n}是单调递增数列，a₁=2，不等式（n+1）a_n≥na_2n对任意n∈N*都成立．
∴a₂＞a₁，a₂＞2．
令n=1，2a₁≥a₂，a₂≤4，
∴a₂∈（2，4]．
（Ⅱ）证明：数列{a_n}不能为等比数列．
用反证法证明：
假设数列{a_n}是公比为q的等比数列，a₁=2＞0，a_n=2q^n-1．
因为{a_n}单调递增，所以q＞1．
因为n∈N^*，（n+1）a_n≥na_2n都成立．
所以n∈N^*，1+$\frac{1}{n}$≥qⁿ①
因为q＞1，所以?n₀∈N^*，使得当n≥n₀时，qⁿ＞2．
因为1+$\frac{1}{n}$≤2（n∈N^*）．
所以?n₀∈N^*，当n≥n₀时，qⁿ＞1+$\frac{1}{n}$，与①矛盾，故假设不成立．

点评 本题考查了数列递推关系、数列的单调性、反证法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．