Question

16．已知S_n是等差数列{a_n}的前n项和，S₇=7，S₁₅=75，T_n为数列$\left\{{\frac{S_n}{n}}\right\}$的前n项和，求T_n的最小值．

Answer 1

分析 由等差数列的求和公式和题意可得首项和公差的方程组，解方程组可得数列$\left\{{\frac{S_n}{n}}\right\}$的通项，进而可可得数列$\left\{{\frac{S_n}{n}}\right\}$的前4项为负数，第5项为0，从第6项开始为正数，可得当n=4或n=5时T_n取最小值，代值可得答案．

解答 解：设等差数列{a_n}的公差为d，
则S₇=7a₁+$\frac{7×6}{2}$d=7，S₁₅=15a₁+$\frac{15×14}{2}$d=75，
联立解得a₁=-2，d=1，
∴$\frac{{S}_{n}}{n}$=$\frac{n{a}_{1}+\frac{n（n-1）}{2}d}{n}$=a₁+$\frac{n-1}{2}$d=$\frac{1}{2}$（n-5），
∴等差数列$\left\{{\frac{S_n}{n}}\right\}$的前4项为负数，第5项为0，从第6项开始为正数，
∴当n=4或n=5时T_n取最小值，
∴最小值为T₄=$\frac{1}{2}$（1+2+3+4-5×4）=-5

点评 本题考查等差数列的求和公式，得出数列$\left\{{\frac{S_n}{n}}\right\}$项的正负是解决问题的关键，属中档题．